12. ТЕОРЕМЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Правильность утверждения
о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения.
Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое
доказывается, называется теоремой. Приведем пример.
Теорема 1.1 Если прямая, не проходящая
ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она
пересекает только одну из двух других сторон.
Доказательство. Пусть прямая а не проходит
ни через одну из вершин треугольника ABC и пересекает его сторону
АВ . Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки А
и В лежат в разных полуплоскостях, так как отрезок АВ пересекает
прямую а. Точка С лежит в одной из этих полуплоскостей.
Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А, то
отрезок АС не пересекает прямую а, а отрезок ВС пересекает
эту прямую
Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то
отрезок АС пересекает прямую а, а отрезок ВС не
пересекает
В обоих случаях прямая а пересекает только один из отрезков АС или
ВС. Вот и все доказательство.
Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится
о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой
части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением
теоремы.
Условие теоремы 1.1 состоит в том, что прямая не проходит ни через одну вершину
треугольника и пересекает одну из его сторон. Заключение теоремы состоит в
том, что эта прямая пересекает только одну из двух других сторон треугольника.